Actran声学仿真分析标准教程

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书名：Actran声学仿真分析标准教程

ISBN：978-7-115-63091-9

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版　　权

著    周 泽 白玉儒 白长安

责任编辑 蒋 艳

人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164 　电子邮件　315@ptpress.com.cn

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内容提要

本书基于Actran 2020系统地介绍Actran的各种基本功能和声学模拟分析中常用的分析方法。全书分为 9 章，主要内容有声学基本理论、Actran软件模块功能与基本理论、辐射噪声的直接频响分析、模态分析及管道声模态在管道声传播中的应用、振动声学仿真的直接频响法、振动声学仿真的模态频响法、声波的耗散吸收分析、虚拟统计能量分析法、气动声学分析法等知识。

本书适合作为各类院校相关专业学生的辅导教材，也适合作为声学工程分析相关科研院所研究人员的科研参考资料。

前  言

随着计算机技术的日臻成熟，在机械系统分析领域中，出现了数字样机技术。该技术采用计算机虚拟现实与仿真技术，在计算机上通过CAD/CAM/CAE等技术把产品资料集成到一个可视化的环境中，实现产品的仿真、分析。虚拟现实与仿真技术在结构动力学、多体动力学、流体动力学、电磁学等领域的应用已经较为成熟。

近年来，随着我国产业转型升级以及大众日益增长的生活品质需求，解决工业产品的噪声问题受到越来越多的重视。与噪声相关的虚拟现实与仿真技术及其工具逐渐普及并被更多地应用到产品开发中。噪声问题大多基于结构动力学、流体动力学、电磁学等的物理现象。广大科研院所、高校以及企业在虚拟现实与仿真技术方面的能力的积累同样为开展进一步的噪声仿真分析提供了保障。

Actran软件是功能强大的声学仿真分析软件，具有振动声学、气动声学以及声学传播等方面的仿真功能。Actran软件被广泛应用于航空航天、汽车工程、工业机械、轨道交通以及家用消费品等领域。国内外的一些著名大学也开设了介绍Actran的课程，将Actran软件作为讲授声学理论与仿真建模的首选工具。

本书基于Actran 2020，系统介绍Actran的仿真与建模功能。考虑到声学的专业性，本书在第1章带领读者从线性声学理论入手，扫清基本的理论障碍。第2章将声学仿真的一般方法与Actran的主要模块相结合进行介绍。第3～9章均通过案例以及必要的专项理论来讲解Actran在线性声学、振动声学以及气动声学等方面的建模方法。

由于Actran软件具有较高的专业性，本书提供全书实例源文件，以帮助读者更加形象、直观地学习本书内容。

本书由MSC Software中国总部提供技术支持，并被指定为官方培训指导教材。本书由海克斯康制造智能MSC Software声学业务单元业务拓展经理周泽、高级工程师白玉儒博士、高级工程师白长安老师具体执笔编写，另外，周霜梅、张吉健、穆含沙等对本书的出版也提供了极大的帮助，在此表示感谢。

由于编者水平有限，书中不足在所难免，恳请各位读者和专家批评指正。欢迎广大读者和专家关注bilibili“Actran 之声”频道或者联系 china@fft.be 交流切磋。也可以加入本书 QQ 服务群213056330参与交流讨论。

编 者 

2023年6月

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第1章　声学基本理论

本章向读者介绍声学基本理论。首先，介绍了声学的基本概念，其次讨论声学的基本方程，出发点是连续介质力学的基本方程，且通过一系列假设引入声学的波动方程。然后，介绍傅里叶变换，并以此引入声学中的亥姆霍兹方程及其主要的声学物理量。最后，对工程声学中声级和倍频程进行介绍。

1.1　声学的基本概念

我们首先给出声学在物理学中的定义，以及按照声波频率区分的不同声学现象区间。

1.1.1　声学的定义

声学（Acoustics）是关于声音（Sound）和噪声（Noise）的学科：

- 声音是由具有弹性的流体或固体材料中的微小扰动产生的；

- 噪声是一种声学现象，噪声会产生让人不适的听觉感受。这种感受取决于噪声的强度，同时也取决于感受者的人文因素和心理因素。

从物理学的角度讲，声音是由流体中的压强随时间在参考压强附近的快速变化产生的。声学压强（简称声压）可以表达为下式：

　　（1-1）

在大气中参考压强为大气压；在水中，参考压强则为流体静压。声压远小于参考压强。声压的单位是帕斯卡（简称帕，Pa）。为了简化书写方式，后文中统一采用p(t)代替p_ac(t)作为声压的符号。

对声学的研究其实可以拓展到对任意连续弹性介质中压力波传播的研究，如对地球动力学或者水下声波传播的研究。声学研究主要涵盖了下面4个方面的内容，如图1-1所示：

（1）声波的产生；

（2）声波的传播，即声波从声源到达接收物的传播过程；

（3）接收物（如麦克风、人耳）对声波的测量、记录或感知；

（4）声波在介质中传播时对介质本身物理特性产生的影响。在本书涉及的线性声学领域中忽略此内容。

1.1.2　声波的频率范围

声波的特征可以由其频率（单频或众多频率）的构成来描述。频率的单位是赫兹（Hz，也记作s⁻¹）。根据声波的频率范围，可将声波划分成4个频率域，如图1-1所示。

- 次声（Infrasound）：其频率范围为0～20Hz（不包括0Hz）。

- 可听声（Audible Sound）：其频率范围为20Hz～20000Hz（20kHz）。其中，人耳对20Hz～4000Hz的声音最为敏感。

- 超声（Ultrasound）：其频率范围从20kHz开始，到1GHz，即10⁹Hz。

- 特超声（Hypersonic Sound）：其频率范围在1GHz以上。

图1-1　声波的频率范围

1.2　声学波动方程的建立

本节介绍从连续介质力学基本方程得到声学波动方程及其一般解，并介绍声传播的力学机理和基本波动物理量间的关系。

1.2.1　连续介质力学基本方程

1．连续方程

质量守恒定律可以通过如下方式表述：取一个极小的流体控制空间，其在3个维度上的尺度分别为dx、dy和dz，如图1-2所示。

图1-2　使用流体控制空间进行质量守恒定律的连续方程的推导

在此空间中以及在一段时间dt内，流体质量的增加会导致流体密度的增加。省略推导步骤，质量守恒定律的连续方程可以写作：

　　（1-2）

上式中t表示时间，i表示x、y或z的方向。其中，方程左侧第一项表示密度变化，第二项表示质量流量的减少（对应图1-2中净流出的部分），右侧的q则是空间中分布的质量源。

2．动量方程

牛顿第二定律最为知名的表达方式为：当外力作用于质量为m的物体时，此物体产生加速度。这3个物理量之间的关系表达如下：

　　（1-3）

以上公式实际是基于物体的质量不随时间变化的假设。在去除这项假设条件后的更一般条件下，牛顿第二定律可写为：

　　（1-4）

这里，是物体的速度矢量，mv是物体的动量。下面将此定律应用在之前推导质量守恒定律的连续方程时使用的控制体积上。此单元体积（dxdydz）在时间段dt内，动量的改变量表达为：

　　（1-5）

动量的改变一方面源于穿过体积表面的动量净流量，另一方面则源于作用于该体积上的外力。

首先考虑外力对该体积的作用。省略推导步骤，在i方向的外力可以表达为作用于该体积表面上所有方向的应力张量的合力：

　　（1-6）

对于无黏性流体：

　　（1-7）

　　（1-8）

这样，对于无黏性流体，唯一作用在单元体积上的外力即表面压力（见图1-3）。

图1-3　作用在（无黏性）流体单位体积上的外力

接下来考虑动量流量（见图1-4）。使用指标符号，可以将质量流量写为：

　　（1-9）

图1-4　单位体积中动量的净流量

将公式（1-5）写成表达式（1-6）和表达式（1-9）各项的和，可以得到如下动量方程：

　　（1-10）

套用连续方程（1-2），这样上式可进一步写成：

　　（1-11）

公式（1-10）和公式（1-11）完全等效。当质量源q=0时，通常使用公式（1-11），并将其进一步表达为：

　　（1-12）

3．状态方程

连续方程（1-2）和动量方程（1-11）分别在x方向、y方向、z方向以及时间t上做偏微分，可以组成4个偏微分方程，包含5个未知量：密度、压力p和速度矢量的3个分量。这里还缺少一个方程用来将方程组封闭。这个方程就是状态方程。

空气的状态方程为理想气体定律（p = nρRT），但这又增加了第6个未知量，绝对温度T。假设声波的压缩-膨胀循环周期中不涉及热交换（绝热过程），温度项即可以被消去。在绝热过程中，理想气体从一种状态（p₁,）到另一种状态（p₂,）变换的过程遵循如下关系式：

　　（1-13）

上式中，为气体的比定压热容与比定容热容之比。对于双原子气体（如氧气O₂、氮气N₂），此 γ 值为7/5。公式（1-13）封闭了由连续方程和动量方程组成的方程组，这样我们就有了 5个方程和5个未知量。

1.2.2　声学波动方程及一般解

N-S方程（Navier-Stokes Equation）阐释了质量守恒定律的连续方程以及牛顿第二定律的动量方程。

为了推导出声学波动方程，将对连续方程和动量方程施加下面5个假设条件。

（1）无黏性流体：假设声波传播的流体介质是无黏性的。

将无黏性流体条件公式（1-7）代入动量方程（1-11），可以得到欧拉方程：

　　（1-14）

（2）小扰动量：将压力场和密度场分解为两部分，即在时间和空间上恒定的参考值（）和比参考值小很多的波动值（）。

（3）线性本构关系：利用状态方程，把压力与密度联系起来，如图1-5所示。

在理想气体的某压力与密度组合状态附近，假设线性化的关系为：

　　（1-15）

其中，数值c²被定义为：

　　（1-16）

图1-5　理想气体的压力-密度关系以及在参考状态附近的线性化

下文中会得出，数值c对应压力波在流体中传播的速度。

（4）流体宏观静止条件：流体的运动仅限于由压力波动引起的微小扰动。换句话说，流体不存在平均流速，而且声学速度（流体粒子振动速度）比声波传播速度小很多。

（5）对方程的线性化：将小扰动量假设分别代入连续方程和欧拉方程中，对方程进行线性化，并忽略质量源。方程组可以写为如下形式：

　　（1-17）

　　（1-18）

上述第一个方程称为波动方程或达朗贝尔方程。第二个方程显示了在不存在分布源项的情况下，流体的加速度与声压的梯度成正比。

通过对N-S方程的线性化，可得到用来描述部分声学波动的达朗贝尔方程。事实上，大部分的声学现象是遵循线性规律的。线性规律意味着物理现象的效果与产生此现象的原因是成一定比例的，而且若干现象之间遵循线性叠加的原则。

波动方程的一维形式为：

　　（1-19）

可以证明所有写成以下形式的函数均是上述方程的解：

　　（1-20）

一维波动方程的一般解为两项之和（见图1-6）。其中，第一项表示从左向右传播的声压分布，其在传播过程中信号没有任何变形。由此可以看出这一项在x点或在x+Δ点取值相同，但两点之间存在Δ/c的时间差：

　　（1-21）

一般解的第二项表示压力分布从右向左地传播：

　　（1-22）

图1-6　一维波动方程的一般解是两项之和：以速度c向相反方向传播的两个波动量

1.2.3　声传播的力学机理及波动物理量间的关系

本节将介绍声波传播的力学机理。图1-7显示了位于圆筒中的一组空气粒子。筒左侧为一活塞声源，右侧为无限延展区域。左侧活塞在水平方向进行正弦运动发出声波。图中每一条横线表示在某一给定时刻所有粒子的位置；每一条竖列则表示某给定粒子在不同时刻的位置。我们可以想象每一个粒子都是通过弹簧与其相邻粒子连接在一起的小质量块。弹簧的刚度代表了空气的可压缩性。如果使用这种类比，那么压力就是相邻弹簧施加于粒子上的合力。

图1-7　圆筒中空气粒子受活塞运动激励产生的位置演变

逐一观察各条横线可知。

（1）时刻（a）粒子所在位置显示了活塞开始运动前粒子的初始位置。

（2）当活塞运动到（b）时刻时，它带动第一个粒子向右运动，此时前两个粒子间的弹簧被压缩。然而，第二个粒子还没有开始运动，它的运动被其惯性抵消，而弹簧吸收了由第一个粒子传来的能量，也避免了第二个粒子的运动。

（3）在时刻（c），活塞和第一个粒子的位移达到了最大值，第二个粒子也克服了惯性并开始运动。运动还没被传递到第3个粒子，这是由于第二个粒子传过来的能量被储存在第二个弹簧中。

（4）在时刻（d），第一个粒子随着活塞做回撤运动。第二个粒子由于惯性继续向右运动。前两个粒子之间的弹簧被大幅度拉伸。此时第3个粒子开始运动，而第4个粒子依旧处于静止状态。

（5）每个粒子均对其右方粒子的运动产生延时反应。由活塞产生的扰动以一定速度自左至右传播。传播的速度由介质（空气）的可压缩性（弹簧刚度）和密度（粒子质量）决定。

如果考虑单个粒子随时间的运动（见图1-8），假设各个粒子之间的距离是Δx，且第二个粒子在Δt时间后开始运动，就可以得出活塞产生的扰动在圆筒中传播的速度为：

　　（1-23）

图1-8　圆筒中单粒子随时间的运动位移变化

这里必须强调，c是扰动传播的速度（即声速），而不是粒子本身在其平衡位置左右晃动的速度。

活塞的正弦运动周期为T。在某一时刻观察所有粒子的位置，可以发现它们也遵循正弦运动的规律。为了清楚表示这个现象，把每个粒子的水平位移等量显示在垂直方向上（见图1-9）。于是可以看出声波的传播现象遵循着双重周期性：由活塞正弦运动周期（T）产生的时间周期性，以及由波长λ表示的空间周期性。波长、周期及传播速度之间的关系为：

　　（1-24）

图1-9　周期与波长

在15℃的空气中，声速约为340m/s，不同频率的声波波长如下。

- 100Hz的声波波长约为：3.4m。

- 500Hz的声波波长约为：0.68m。

- 1000Hz的声波波长约为：0.34m。

- 5000Hz的声波波长约为：0.07m。

达朗贝尔方程仅是波动方程的一个特例。一般性波动方程还包括弯曲振动方程或量子力学中的薛定谔方程。一般性波动方程的解可用如下函数W表示：

　　（1-25）

其中，k被称作波数，ω被称作角频率。

函数W具有空间和时间的周期性。在任意给定时间t₀：

　　（1-26）

这表示函数W在相隔一定距离的两点取值相同，此距离长度即波长：

　　（1-27）

波数可以形象地理解为在2π空间长度内波长的个数。

类似地，在任意给定位置x₀：

　　（1-28）

这表示函数W在相隔一定时间的两个时刻取值相同，此时间段即周期：

　　（1-29）

角频率可以形象地理解为在2π时间长度内周期的个数。

频率f被定义为周期的倒数：

　　（1-30）

最后可以得到：

　　（1-31）

这表示函数W以速度c传播：

　　（1-32）

下面通过热力学定律推导出理想气体中的声速表达式。理想气体在绝热过程中压力与密度的变化［（p, ρ）→（p₀, ρ₀）］遵循如下关系：

　　（1-33）

其中，γ是气体比定压热容（c_p）与比定容热容（c_V）之比。将上式代入公式（1-16）便可以获得下式：

　　（1-34）

由于存在下面的关系式：

　　（1-35）

其中，R = c_p - c_V，于是可以得到声速的计算公式：

　　（1-36）

在通常温度下，空气中的声速与温度之间的关系可以被大致线性化，这就提供了一个简单的计算空气中的声速的方式：

　　（1-37）

在众多情况下，温度对声速的影响可以被忽略。然而在特定情况下，温度却相当重要，例如：

● 在大气中由于温度梯度产生的声波偏折现象；

● 当声波在内燃发动机的排气管中传播时，温度从发动机侧的700℃（c≈625m/s）降至排气出口处的60℃（c≈366m/s）。

本章至此的理论均是对声波传播的时域的描述，即波动量是时间的函数。在声学理论中，对声波的另一种重要描述工具是频域分析，下面就通过对达朗贝尔方程的傅里叶变换得到声学在频域的亥姆霍兹控制方程。

1.3　傅里叶变换与亥姆霍兹方程

通过上面的学习可以了解到，声波是由声压在参考压强附近的波动而产生的，声压的波动遵循波动方程，或达朗贝尔方程。在给定位置上，声波是局部的声压随时间的变化：p(t)。这种在时域上对声波的描述可由另一种描述方式补充，即频域的描述，或称频谱描述。本节的案例均是频域分析，而求解的控制方程即为亥姆霍兹方程。完成时域与频域之间转换的工具为傅里叶变换。

1.3.1　傅里叶变换

周期信号p(t)可以写为基础周期信号叠加的形式：

　　（1-38）

其中。如果用p(t)表示声学压力波动，则平均值为0，由此可得A₀=0。声压是一个实数，而上式中的系数A_n和B_n同样为实数。B₀可以取任意值，这只是为了使公式显得对称而引入的。

1．频谱与复数幅值

任一周期信号均是有限个或无限个单频信号的线性叠加，这些单频信号的频率均是基频1/T的整数倍。其中第n阶谐频信号的幅值可由实数对（A_n,B_n）表示。下面可以借助频谱用图形的方式将一个周期信号分解为多个谐频信号。图1-10所示的时域信号的频谱如图1-11所示。

图1-10　周期信号及其频谱成分

图1-11　对应图1-10中信号的谐频信号的幅值

将一个信号分解成多个具有复数幅值的单频信号是非常有用的。“声音在100Hz的幅值为(1+2i)”，这句话的意思是：一个信号含有100Hz的谐频成分，且此成分的复数幅值是(1+2i)：

　　（1-39）

此处，表示对复数取实部。

2．傅里叶变换公式

如果定义为信号的傅里叶变换，则为的逆傅里叶变换，则有以下关系式：

　　（1-40）

　　（1-41）

需要注意两点。

● 如果的单位是Pa，那么的单位则是或。

● 公式（1-40）中的积分变量f经常写为角频率ω的形式：

　　（1-42）

通过前面的介绍，我们了解到声音可以用声压的时间历程p(t)描述，而傅里叶理论表明任何信号均可以被分解为基础周期信号（正弦信号、余弦信号）。这些基础周期信号随频率变化的幅值被称作原时间信号的频谱。对于周期信号，其频谱是离散的，由有限个或无限个等距分布的频率（Δf=1/T）组成。对于非周期信号，其频谱一般是连续的，由各频率的微小贡献叠加而成。

信号的时域表示法和其傅里叶变换（频域表示法）是对同一现象的不同且相辅相成的描述方式。时域信号记录了真实的物理现象历程，而频谱通常可将此现象以更易于工程师阅读和理解的方式呈现。

1.3.2　声波的亥姆霍兹方程与主要的声学物理量

对声学波动方程（1-17）进行傅里叶变换即可得到亥姆霍兹方程：

　　（1-43）

或写成：

　　（1-44）

其中，波数k=ω/c。

下面针对声学中常用的几个物理量进行简要介绍。

1．声学速度

通过对波动方程的分析，可以得到空气粒子声学速度v_j与声压梯度的关系：

　　（1-45）

对上式进行傅里叶变换，可得到声压梯度与粒子声学速度的频谱关系：

　　（1-46）

2．声阻抗率与声导纳

在空间某一点，沿某个指定方向上的声阻抗率，其定义为声压与速度频谱（复数）之比：

　　（1-47）

其中，j表示方向。如果希望描述声学边界条件对声波的吸收，则可以使用边界条件的法向声阻抗率：

　　（1-48）

绝对刚性壁面具有无限大的阻抗率（V_n = 0，Z_n = ∞），而一个绝对柔性的表面（p = 0）其阻抗率为0。声阻抗率的倒数称为声导纳：

　　（1-49）

可见，阻抗率（或导纳）将声压频谱与速度频谱联系在一起。而声压与速度的时域信号之比并无明显物理意义。阻抗一般来说是针对某物理现象的频域的概念。如在电学中，阻抗表示对交流电的阻碍（电压与电流之比）。在结构动力学中，阻抗有若干种定义：力与位移之比、力与速度之比或力与加速度之比。阻抗永远是一个比值，用来关联一个现象的起因（力、电压、声压）及其结果（位移、电流、声学速度）。一般来说，阻抗是一个随频率变化的复数。

3．声强

在声压为p(t)的声波中，空气粒子以速度v(t)振动。这样的振动需要能量的支持（或者说单位面积的能量），可以用瞬时声强表示，即声压与速度的乘积：

　　（1-50）

在频域中，声强的频谱为：

　　（1-51）

将阻抗率写成复数的形式Z = Z_r + iZ_i，就可以将声强频谱写成如下形式：

　　（1-52）

上式表明了声强和声阻抗率的实部符号相同。

1.4　声级

本章的最后一部分内容涉及工程声学中对于声级和倍频程的定义与使用。首先从大家耳熟能详的分贝级开始。

1．分贝级

我们经常使用分贝级的概念来描述和对比两个声源功率的大小。引入参考功率值来定义声源的声功率级。设P_ref为参考功率，那么声源的功率级为：

　　（1-53）

对于声场空间中某一点的声强级，我们一般用该点的声强与参考声强进行对比。参考声强为I_ref = 10⁻¹² W/m²时，有：

　　（1-54）

声压级（Sound Pressure Level，SPL）是更普遍的一种声级记录方式，其定义如下：

　　（1-55）

在空气中，参考声压p_ref为2×10⁻⁵ Pa，在水中的参考声压为1μPa。由此可以推导出如下关系：

● 如果声压增加一倍，那么声压级会增加6dB（20lg2=6）；

● 如果声强增加一倍（声压增加倍），那么声强级会增加3dB（10lg2=3）。

在空气中传播的声压幅值为单位1的平面波，其声压级L_p可通过下式得到：

　　（1-56）

图1-12是对一些典型场景中声压级大小的描述。

图1-12　典型环境中声压和声压级的数值

声级是针对声学物理量的频谱来完成定义的，而不是针对时域信号的，瞬时声级概念并不存在。声级是与一段时间内的平均声强相关联的。不过随时间变化的声级还是可以被计算出来的，我们可以将一段时间较长的信号切分成连续的时间段，并在每个小时间段内计算声级。

2．声级的叠加

考虑A和B两个声源，在一给定位置，它们分别产生声压级L_A与L_B。在计算由A、B两个声源共同作用产生的声压级时，我们可以考虑将它们的声强叠加的方法。由于声强与声压的平方成正比，如公式（1-52）所示，因此可以得到：

　　（1-57）

用两个声压级的最大值（如L_A），以及两个声压级的差值ΔL=L_A-L_B代入公式（1-57）来表示总声压级：

　　（1-58）

可以认为公式（1-58）最后一项是为了计算而加在后面的一个修正项。图1-13显示了此修正项相对于ΔL的取值关系。以L_A和L_B为相等声压级的情况（ΔL=0）为例，其叠加效果相当于在L_A的基础上增加3dB：

　　（1-59）

图1-13　在计算两个声级的叠加效果时需要在最大声级的基础上加上修正项（纵坐标）；
横坐标为两个声级的差值

需要说明的是，仅当两个声源发出的声音是不相关的，我们才可以使用上面的叠加公式。而如果两个声源具有完全相同的幅值以及完全相同的相位，那么叠加形成的声压就会是单个声源产生声压的两倍，叠加形成的声压级则会在单个声源声压级的基础上加6dB。如果两个声源的相位恰好相反，那么叠加形成的声压为0，声级为负无穷大。

3．掩盖效应

当两个声源的声级相差很大时，修正项ΔL趋于0，只有声级较大的声源才容易被听到。较大的声音可将其他较小的声音掩盖是声学中的一个重要实用的效应。假如一台机器具有3个声源A、B和C（L_A = 80 dB，L_B = 75 dB，L_C = 73 dB）。3个声源叠加在一起的声级是81.8 dB。在降噪工程实践中如果不多加思考，那么很可能只会关注到声级最大的声源。此时，即使可以将声源A的声级从80dB降到70dB，最终对于总叠加声级的降噪效果只有约4dB（70dB、75dB和73dB叠加后为77.9dB）。而如果在将声源A的声级降低到和声源B的一致时就开始对A和B进一步降噪，那么结果会好很多。最后，当A与B的噪声级降低到和C的一致时，最好开始进行对A、B和C的同时降噪。

4．声级的修正与累计

在我们日常说话中所谓的声音大小，实际上指的是对“人的听觉感受”的测量。人耳对不同频率的声响的敏感度不同。测量噪声的声级计一般都标有A、B、C、D和U等若干种计权功能。图1-14显示了A、B、C和D计权对声级的修正项。其中，A计权在测量环境噪声中应用相当广泛。

A计权的滤波公式表示为：

　　（1-60）

其中，f表示频率。A计权对声压级的修正项为：

　　（1-61）

注意上式对1000Hz无修正。如果已知声级为L，其A计权声级L_A可采用下式进行计算：

　　（1-62）

图1-14　声级计权的A、B、C、D标准对应的声级修正项

5．倍频程与三分之一倍频程

人耳可听声音的频率范围经常被划分为若干个倍频程（见表1-1）或三分之一倍频程（见表1-2）。基于音乐中对倍频程（Octave）的定义，相邻两个倍频程的中间频率相差一倍。相邻的两个三分之一倍频程的中间频率相差2^1/3倍。ISO国际标准将倍频程的中间频率取整数f_c，这样10lg₁₀f_c就为整数（见表1-2的最后一列），这正好可以作为三分之一倍频程的编号。例如，中心频率是10kHz的三分之一倍频程编号为40。

表1-1　倍频程的定义

表1-2　三分之一倍频程的定义

在了解了声级与倍频程后，我们不难发现这两个概念的定义均是对声学物理量取对数的结果：声级是对声压数值取对数，而倍频程的编号则是对频率的数值取对数。

声级与倍频程均是工程声学中的概念，对它们的定义与人们听声音时的主观感受密切相关。对于声级，一般10dB的增长可以带来“声响增大一倍”的主观感受。对于频率，一倍的频率增长（倍频程的序号增加1）对应的主观感受则是“声音的音高提高了一个八度”。可见人们在听声音时的主观感受并不与声学物理量的线性值（声压、频率）直接相关，而与它们的对数值（声压级、倍频程）相关。