高考导数探秘：解题技巧与策略

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书名：高考导数探秘：解题技巧与策略

ISBN：978-7-115-64259-2

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版　　权

编  著 董晟渤

责任编辑 李 宁

人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

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内 容 提 要

函数与导数相关题目历年来都是高考中的难点，题型千变万化。本书从基本的做题方法着手，整理了不同的导数题型，由浅入深地讲解了导数问题的基本解答技巧，特别针对多变量问题、极值点偏移问题、隐零点问题、复杂函数问题、函数与数列结合的问题进行了详细介绍。

本书是作者多年来辅导高中生学习数学的经验结晶，适合进行高考复习的高中生和相关高中数学老师阅读。

前  言

自从我在 2018 年的寒假写下第一篇知乎文章至今，已经 6 年多了.当时还是高中生的我，热衷于研究高考数学中的难题，尤其是导数与解析几何.我把整理出来的解题技巧，写成文章发在了知乎上.尽管当时的文章存在不足，但是在这 6 年多里，我收获了 10 多万的关注者与 20 多万次的收藏，有许多高中生因此受益，考上了自己理想的大学.6 年多过去，作为北京大学数学科学学院在读研究生，我接触了更高等、更现代的数学，对数学的理解也比过去更深.

本书大概讲了些什么内容呢?

第 1 讲介绍基础知识，回顾了函数与导数的定义，作为本书讨论的出发点.

第2讲介绍处理导数问题的基本方法，围绕分类讨论与分离变量这两大基本方法进行了系统的讲解，作为导数问题解题的入门.这里介绍的是后面解题过程中常常要用到的重要方法，学习完本书后建议回来复习一遍.

第3讲介绍基本工具，许多高考题涉及函数不等式，例如 ，以及更加复杂的 .本讲对不等式做了系统的梳理，在学习完后读者将会对这些不等式有一定的理解.

第 4 讲到第 8 讲详细介绍了多种不同的导数问题，以及对应的思维方法与处理策略，例如多变量问题、极值点偏移问题、隐零点问题等.

第 9 讲介绍 2024 年的高考导数真题.

第 10 讲介绍补充知识，面向学有余力且对微积分感兴趣的读者，选讲了高等数学与数学分析中的一些基本概念，有助于读者站在更高的视角看问题，从而加深对导数的理解.

书中带星号 的部分，是高考不要求掌握的内容，供学有余力的读者学习.同时，本书注重的是解题技巧，而不是对具体题目的解答，所以部分经典题目可能会在多个地方出现，我会从不同的角度作出解答. 也许读者在阅读本书的时候，会有一种阅读我的知乎文章的感觉，因为本书并不仅仅是题目和答案的堆积，还有我对概念和题目的理解.

本书适合的对象是数学成绩较好、希望能破解压轴题的高中生，尤其是平常的数学考试分数在 120 分以上的高三学生.考虑到本书是我的讲稿，所以本书也适合高中数学老师参考.建议在使用本书的过程中，首先阅读正文部分的内容，学习例题的处理方法.对于部分题目，我可能从不同角度给出多种解答方法.建议读者在学习了基本方法后，自己尝试做一遍例题，并且一定要完成课后练习.本书在最后也给出了课后练习的参考解答.一定要注意的是，我并不是在教读者背“套路”，而是在教读者思维方法.在遇到具体题目的时候，有时并不是靠“套路”解题，而是要灵活地“见招拆招”，用合适的工具解题.

当然，本书不可能包含 的导数问题解答方法.也许在本书出版一段时间后，会出现新的题型和方法，但是本书处理问题的思路仍然是通用的.并且我相信，在学习完相应内容后，读者将会具备理解导数问题的解答思路的能力.

回顾本书完成的过程，我要衷心感谢陈宇灿、邓志宇、王孝宇、吴梓帆、熊雄和张文增 （按照姓氏拼音排序），他们的审校和建议使这本书更加完善.同时也要感谢人民邮电出版社的李宁编辑，她的努力工作是这本书顺利出版的关键.希望读者能在学习中有所收获.只要有人能从本书中学到一些东西，我写作过程中的努力就是有意义的.

董晟渤（Dylaaan）

2024 年 3 月于燕园

第1讲　函数与导数的定义

1.1　函数的定义与性质

讲解导数需要从函数的定义出发.很多学生知道什么是函数，但是常会忘记函数的定义.

1.1.1　定义与常用函数

高中的课本按照如下方式定义函数：设 、 是非空的数集（需要注意，所谓的“函数”实质上是数集到数集的映射，“数集”指实数集合 的子集），如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数 (见下图)，记作 .函数的本质是一个映射，因此也可以记为

.

函数的定义示意图

在函数的定义中，有一些需要注意的概念：

● 叫作自变量， 叫作因变量或函数值；

● 的取值范围 叫作函数的定义域；

● 函数值的集合 叫作函数的值域；

● 将点集 绘制在平面直角坐标系 中，所得的图像叫作函数的图像.绘制出函数的图像，并进行“数形结合”，是常用的解题思路.

函数的定义比较抽象，需要理解，但通常在高考中不会直接考查.高考中较为重视的是一些常用函数性质的考查，为此需要介绍基本初等函数，主要包括以下几种.

● 初中已经接触过的一次函数 、二次函数 ，进一步还可以考虑三次函数 .高考中的一些题目会涉及三次函数，这通常需要借助导数.一般地，对于正整数 ，函数

称为多项式函数， 叫作多项式函数的次数.

● 初中已经接触过的反比例函数 、根式函数 .另外，一般地，对于实数 ，函数

称为幂函数， 的取值范围与 有关， 叫作幂函数的幂.幂函数的性质也需要非常熟悉.

● 初中简单介绍，而在高中给出了严格定义的正弦函数 、余弦函数 、正切函数 ，其中 .另外，还有以下函数：

.

这几个函数在高考中不会出现，但是在将来的数学课和实际应用中较为常见.一般地，对于实数 ，函数

称为三角函数， 叫作三角函数的振幅， 叫作三角函数的频率， 叫作三角函数的相位， 叫作三角函数的周期.三角函数在物理学和工程中常用.

● 设实数 且 ，函数

称为指数函数.对应的反函数

称为对数函数.若取 (自然常数^[1] ），则对数函数记作 .指数函数 和对数函数 非常重要，有特别的性质，在高考中最常考查.

[1]　自然常数 是怎么来的？我将在后文简要介绍.

1.1.2　函数的基本性质

为了更清楚地看出函数的形式，我们常常会绘制函数的图像.绘出图像后会发现，有些函数是对称的，其中包括轴对称和中心对称.特别地，将函数图像的对称轴选为 轴，或者将对称中心选为坐标原点，就可以得到奇函数与偶函数的概念.

● 若函数 的图像关于 轴对称，即

，

则称函数 为偶函数，例如函数 .在这里可以思考，偶函数 的导数 是偶函数吗？为什么？

● 若函数 的图像关于坐标原点对称，即

，

则称函数 为奇函数，例如函数 .在这里可以思考，奇函数 的导数 是奇函数吗? 为什么?

有时候，函数的图像不一定是恰好关于 轴对称，或者恰好关于原点对称的.例如，若函数满足

，

则 是该函数图像的对称轴；若函数满足

，

则 是该函数图像的对称中心.

真题1.1 (取自 2021 年新高考 I 卷^[2])　已知函数 是偶函数，则 .

[2]　编者注：为了提升阅读体验并简化表达，本书中的高考试题名称采用了简称形式，例如将“2023 年高考全国乙卷理科数学”简称为“2023 年乙卷理数”，将“2020 年高考 II 卷文科数学”简称为“2020 年 II 卷文数”，以此类推.这样既保持了信息的真实性，又提高了文本的可读性.

解答　根据偶函数的定义，令

，

对比系数，解得 .

真题1.2(取自 2021 年新高考 II 卷)　写出一个同时具有下列性质 （1）（2）（3）的函数 : .

（1）；

（2）当 时，；

（3） 是奇函数.

解答　考虑函数 ，可以验证它满足 .

真题1.3(取自2023年乙卷理数)　已知函数 .是否存在 ，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求 的值，若不存在，说明理由.

解答　令 ，由 ，解得.考虑到函数的定义域关于直线 对称，取 .接下来，令，即

.

经检验 满足题意.　　■

另外，有些函数有可能会有些函数值“重复出现”，或者用更数学一点的语言来说，会出现“周期性”.

● 若存在 ，使得函数 满足

则称函数 为周期函数，并称 为函数 的周期.例如函数 或其他的三角函数.事实上，我们知道 是周期函数，而一个非周期函数的例子是 .

高考中，对于一些定义复杂的函数，有时候需要通过对称性和周期性巧妙地解题.

真题1.4（取自 2021 年新高考 II 卷）　已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，则 .

A．

B．

C．

D．

满足 为偶函数， 为奇函数的函数 的简图

解答　根据 为偶函数，知 关于直线 对称；再根据 为奇函数，知 为奇函数，从而 ，并且 关于点 对称.据此，可以画出 的大致图像，如上图所示.

根据图像，可以看出其是周期 的函数，并且 ，因此 B 选项正确.　　■

1.1.3　函数的零点问题

对于函数 ，称使得 成立的 为 的零点.一般来说，高中所研究的函数都是初等函数，它们都是连续的，或者在某些区间上是连续的.对于闭区间上的连续函数，有零点定理.

定理1.1(连续函数的零点定理)　设 在 上连续，且 ，则存在 ，使得 .

从图像上看，这个定理的结果是显然的.然而在高中阶段，暂时未给出该定理的证明.但是在高考中，该定理非常常用，特别是在有关导数的大题中^[3].

[3]　常有人觉得高中数学的内容安排不合理，这便是一个例子.

● 如果 是严格单调递增的连续函数，且 ，则存在唯一的 ，使得 .反过来，如果 是严格单调递减的连续函数，且 ，则存在唯一的 ，使得 .在判断零点的个数时，需要用到这个结论.这说明了研究函数单调性的重要性，而研究函数单调性的一个重要工具就是导数.

● 如果 是连续函数，且 ，当 时， 或 ，则存在 ，使得 .然而，在高考中，我们无法使用所谓的“极限”概念，通常可以找到一个 ，使得 ，再应用我们已知的零点定理，存在 ，使得 ，便得到了零点的存在性.

在第二种情形中，如果读者学习过极限，就会知道这样的 是一定存在的，难点在于如何取出合适的 ，这在高考压轴题的研究中被称为“取点”.为了取出这样的点，往往需要使用函数不等式，如最常用的 ，当然有时候只要用 就够了，这被称为“放缩”.这将在后面简单介绍.

另外，有时候处理的零点问题并不会直接给出函数 的形式，而会给出一个带有函数的方程，比如 ，这时候可以构造函数 ，则 等价于 .高考压轴题中，出现的函数形式会比较复杂，甚至常常带有参数，但是本质上仍然是零点问题.

1.1.4　函数定义的推广*

函数本质上是从数集 到数集 的映射，而所谓的“数集”，指的是实数集合 的子集，可以简单地写成 .是否可以将函数的定义进一步推广？下面举一些例子.

平面向量的模（向量的大小）是不是一个函数？如果 是二元数集，即 ，设向量 ，则向量的模实质上是从 到 的一个映射，可以写成

，

这样的函数叫作二元函数.类似地，可以定义 元函数.

在讲复数的时候，老师一般会说复数 和平面向量 是一一对应的.如果 ，那么映射 也是函数，例如

，

这样的函数叫作复变函数，复分析研究的就是复变函数的性质.

除了 以外， 是否可以是其他类型的集合？一个例子是，设函数的定义域是集合的集合，为了和集合区分，记作 ，并记里面的元素为 .用 表示二维几何图形， 表示二维几何图形的全体，例如单位圆可以表示为

.

考虑从 到 的映射 ，并令 表示 的面积，例如 .这样的函数称为测度，而为了严格化 和这样的函数，需要做不少工作，这便是测度论关心的内容.

如果集合 里面的元素不是数，而是一些抽象的元素，或者说 是一个抽象的空间，记作 ，那么映射 也是函数，并称为泛函.当然，这里的空间 是有一定要求的.泛函分析便是研究这样的空间和函数.

1.2　导数的定义与性质

1.2.1　定义与基本性质

在上一节中，我们介绍了函数的定义和基本性质.接下来，我们再介绍导数.导数实质上是“微积分”一词中“微分”的部分，在研究函数的性质方面有重要作用.

高中数学绕过“极限”的定义讲解了导数的定义.在这里，简单提一下极限的性质：如果 是连续函数，则

.

例如，当 时， .这在求导数时有一定的用处.

定义 1.1 (导数)　设函数 在 附近有定义，如果极限

存在，则称 在 处可导，并称上述极限值为 在 处的导数，记作 .函数 称为函数 的导函数，简称导数.

接下来看一个涉及基本函数求导的简单例子.

例1.1　用定义求函数 的导数.

解答　计算得

.

因此，函数 的导数为 .　　■

做完这题之后，可以再试一下，如何用定义求函数 的导数.事实上，容易通过基本函数的求导公式来得到该函数的导数，但是也千万别忘了定义.当然，如果要用定义来求函数 或者 的导数会较为麻烦.更一般地，有下面的常用函数的导数表.

常用函数的导数表

函数	导数	备注
		—
		—
		—

在了解了导数的定义之后，我们可以来探讨导数的一些基本性质.如果我们有两个可导的函数，对其进行组合，所得的函数是否还是可导的？更进一步，能否求出它们的导数？这是我们首先要提到的导数的性质，即导数也有四则运算公式.

定理1.2(导数的四则运算公式)　设函数 和 的导数为 和 .

（1）；

（2）；

（3）；

（4）若 ，则 .

这些公式都是比较基本的，需要熟背下来.前两个公式的证明是容易的；而后两个公式的证明，需要应用一些分析学的技巧.考虑到高中阶段尚未给出极限的定义，导数的四则运算公式是无法严谨证明的.而不少函数的求导都需要应用到四则运算公式.

例1.2　设 ，求 .

解答　注意到 ，因此

.　　■

接下来，我们介绍复合函数的求导公式.

定理1.3　设函数 和 可导，对于复合函数 ，有

.

该定理的证明较为复杂，但是记忆是比较容易的.为了方便理解该公式，我们在此引入大学数学中常用的莱布尼茨记号，即将 对 求导数表示为 ，则上述公式即为

.

需要注意的是，上式只是在形式上说明了复合函数求导公式的合理性，并不能用于证明复合函数的求导公式.对复合函数的求导公式的应用需要非常熟悉，下面是一个例子.

例1.3　设函数 ，求 .

解答　首先对外层求导，可以得到 ；再对内层求导，可以得到 .因此

　　■

1.2.2　取对数求导法与隐函数求导法*

有了复合函数的运算法则后，可以引出两种常用的特殊求导方法.这两种方法一般来说会在高等数学中介绍，但是高中生完全可以理解，并且有时候非常好用.

首先是取对数求导法.考虑到有时候函数的乘法运算较多，或者指数较为复杂，可以考虑通过取对数的方式，将乘法转化为加法，将指数项转化为乘法.所谓的取对数求导法是指，在函数 的等式两边取对数，得

.

若此时等式右边的导数容易求出，记 ，根据复合函数的导数的运算法则可得

，

从而计算得到 .需要注意，取对数运算是非常常用的，它可以将指数项转化为乘法，进一步将乘法转化为加法.高考中的一些代数变形问题，都与对数有关.

例1.4　设函数 ，求 .

解答　对 取对数，可得 ，等式两边对 求导，可得

，

因此 .　　■

有了复合函数的运算法则后，还可以推出隐函数求导法.所谓的隐函数，指的是函数并没有显式的表达，而是通过方程或者其他形式确定了函数关系.

例如设椭圆的方程为 ，对于其上面的一点 ，假设 ，则在该点附近可以通过椭圆方程确定隐含的函数关系 ，并且是唯一的^[4].更准确地说，有 或 ；至于是前者还是后者，需要结合 的位置来判断.

[4]　这是通过分析学中的隐函数定理保证的，叙述起来较为复杂.

例1.5　求椭圆 在 处的切线方程.

解答　要求出 处的切线方程，可在等式两边同时对 求导，得

，

代入 ，解得 ，从而切线方程（有时候在圆雉曲线中也被称为极线方程) 为 .　　■

这是一个解析几何中非常常用的结论，形式上也非常像椭圆方程，只是将 换成 ，将 换成 而已.类似地，对于双曲线 ，可以求出其在（ ）处的切线方程为 .对于抛物线 的情形，读者可自行推导.

1.3　导数的应用

1.3.1　单调性与极值点

首先，大家熟知的是，可以借助导数判断函数 的单调性.

● 若 ，则 单调递增；

● 若 ，则 单调递减；

● 若 ，则 的单调性需要进一步判断.

对于一些比较复杂的函数而言，通过求导数判断单调性，比直接通过定义判断来得容易得多.

例1.6　设函数 ，判断 的单调性.

解答　计算得 ，有 . 当 时 ，当 时 ，故 在 内单调递减，在 内单调递增.　　■

我们知道，函数的最大值和最小值，指的是函数值的最大取值和最小取值.另外，高中教材也给出了函数的极大值和极小值的概念.许多人对函数的极大值的理解是“导函数有变号零点”，即导函数存在某个零点 ，且导函数图像在 轴上穿过零点对应的点 .然而，极值点的严格定义是函数在某个开区间上的最值点，这个是大家很容易忽略的.

定义 1.2 (极值点与极值)　函数 在某个开区间 上的最大值点称为极大值点，最小值点称为极小值点，对应的函数值分别称为极大值和极小值.

通过上面的介绍，我们知道，导数可以用于判断函数的单调性和极值，可以给出如下的极值点的判断方法:

● 若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

则 为 的极小值点， 为 的极小值；

● 若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

则 为 的极大值点， 为 的极大值.

事实上，如果 ，则 与 同号，即当 时 ，而当 时 ，这就说明了 是 的极小值点.在做题时，有时候会出现多个式子相乘后与 0 比较大小的不等式，这个时候也应该用类似的方法.

再进一步，如果函数的二阶导数存在，可以进一步对函数求二阶导数，并有如下的判断方法:

● 若 ，则 为 的极小值点；

● 若 ，则 为 的极大值点.

以第一种情况为例，如果 ，那么 应该在 附近单调递增，这使得当 时有 ，而当 时有 ，因此 为 的极小值点.

例1.7　设函数 ，求 的极小值点和极小值.

解答　根据上例，知 是 的极小值点，极小值 .　　■

许多高考题只需要对函数的单调性进行分析就可以解决，见下面的真题.

真题1.5(取自2020 年 II 卷文数)　已知函数 .

（1）若 ，求 的取值范围；

（2）设 ，讨论函数 的单调性.

解答　（1）根据 ，令 ，其中 ，计算得

，

因此 在 内单调递增，在 内单调递减..因此 的取值范围是 .

（2）此时 ，其中 且 ，计算得

.

令 ，计算得

,

因此 在 内单调递增，在 内单调递减，，从而 ，这说明了 在 和 内单调递减.　　■

下面的题目涉及极值点，但是因为函数较为复杂，难度较大.

真题1.6(取自 2018 年 III 卷理数)　已知函数 .

（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；

（2）若 是 的极大值点，求 .

第一问不难，只需要判断函数 的单调性即可.在后面我们会指出，这一问涉及的是一个非常重要的不等式；第二问有多种做法，一方面可以采取多次求导的方式，另一方面可以令

，

则当 时， 的极大值点也是 的极大值点，从而简化了求解过程.

解答　（1）当 时，，计算得

，

因此 在 内单调递减，在 内单调递增，，因此 在 内单调递增.注意到 ，因此当 时 ，而当 时 .

（2）若 ，则由 （1）知，当 时，有

，

此与 是 的极大值点矛盾.以下设 ，当 时，有 ，令

，

则 ，当且仅当 是 的极大值点时， 是 的极大值点.计算得

.

考虑函数 ，其中 ，则 ，由此进行讨论.

（ⅰ）若 ，则

，

从而 在 内单调递增，在 内单调递减， 是 的极大值点；

（ii）若 ，则 在 0 附近单调递增^[5]，此与 是极大值点矛盾；

［5］　这里 是二次函数，若不放心，可以利用求根公式求出其零点，并且结合图像判断正负.

（iii）若 ，则 在 0 附近单调递减，此与 是极大值点矛盾.综上，.　　■

1.3.2　凹凸性与拐点

从函数图像来看，有些函数是往上面凸的，而有些函数是往下面凸的 (见下页图).如果某个函数是下凸的，那么其导数应该是单调递增的；如果某个函数是上凸的，那么其导数是单调递减的.在此基础上，可以定义函数的凹凸性.

典型的下凸函数的图像

定义1.3 (凹凸性)　设函数 二阶可导，若 ，则称 为下凸函数；反之，若 ，则称 为上凸函数.

例1.8　若 ，判断其凹凸性.

解答　计算得 ，因此 是下凸函数.　　■

另外，所谓的“拐点”是函数图像凹凸性改变的点.等价地说， 的极值点称为 的拐点.一个重要的例子是 Logistic 函数 (或称逻辑斯谛函数)，该函数可以用来刻画某个种群的数量变化，或者某种疾病感染者的数量变化.

例 1.9　考虑 Logistic 函数

.

设 ，判断其单调性和凹凸性，并写出其拐点.

解答　此时 ，计算得

.

注意到 ，因此 在 内单调递增；再注意到 在 内单调递增，在 内单调递减.因此 的图像在 下凸，在 上凸，拐点 (见下页图).　　■

在这个函数表达式的基础上，可以进一步思考：这个函数的参数 和 有什么含义？计算得到 ，因此 代表的是初值；并且当 时，，因此 代表的是函数的极限；根据图像，还可以看出拐点处的函数值为 .这有助于我们理解 Logistic 模型，并且和生物里的“S”形曲线联系在一起.

函数 的图像

真题1.7（取自2020年 III 卷理数）　Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 的单位: 天) 的 Logistic 模型: ，其中 为最大确诊病例数.当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为 .

A．60

B．63

C．66

D．69

解答　令

，

解得 ，因此 B 选项正确.　　■

或许读者会在其他地方看到凸函数的等价定义.有时候，也称满足

的函数为凸函数，前面对应的是下凸的情形，后面对应的是上凸的情形.上述的等式也可以被拓展到 个变量的情况.

定理1.4（琴生不等式）　设 是下凸函数，则有

;

设 是上凸函数，则有

,

上述不等式当且仅当 或 时取等.

琴生不等式可以用于证明 元均值不等式.考虑函数 ，则有 ， ，因此 是上凸函数.于是，对正数 ，有

,

再结合 的单调性，即可得到

,

感兴趣的读者也可以尝试用琴生不等式得到其他的均值不等式.

1.3.3　证明不等式

通常，结合一个函数的单调性和极值点，即可得到不等式.

例1.10　当 时，证明: .

解答　考虑函数 ，由上文知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 是 的最小值点，最小值 ，从而

，

这便证明了该不等式.　　■

例1.11　当 时，证明: .

解答　考虑函数 ，计算得

,

因此 在 内单调递增，从而

.

这便证明了该不等式.　　■

高考题中也会有证明不等式的问题，对于大多数情况，结合函数的单调性就能得到不等式.

真题 1.8(取自 2023 年新高考 I 卷)　已知函数 .证明: 当 时，.

解答　计算得 ，令 ，解得 .当 时 ，当 时 ，因此 在 内单调递减，在 内单调递增，有

.

要证明 ，只需证明关于 的不等式 ，即证明不等式 ，其中 .为此，构造函数

.

当 时 ，当 时 .因此 在 内单调递减，在 内单调递增，因此有

，

这便完成了证明.　　■

许多高考题都和不等式直接或间接相关，因此本书后面专门有一讲介绍函数相关的不等式，例如 和 .

1.4　课后练习

A组

练习1　已知函数 的图像关于直线 对称，且对任意的 都有 .当 时，，求 .

练习 2　利用定义求函数 的导数，并验证其是否与我们所记的公式相等.

练习 3　已知函数 .

（1）若曲线 在点 处的切线垂直于直线 ，求 的值；

（2）求函数 在区间 上的最小值.

练习 4　当 时，证明不等式 ，并指出其与 的关系.

B组

练习 5　证明以下结论:

（1）若 是 上可导的奇函数，则 是偶函数；

（2）若 是 上可导的偶函数，则 是奇函数.

练习 6　给定抛物线 ，求其上面一点 处的切线方程.

练习 7　设函数 ，求 的导数 .

练习 8　设函数 ，其中 ，求 的导数 与单调递增区间.